Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия

(Женева)

Это большая ошибка — думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо и спонтанно. Когда взрослые пытаются навязать ребенку математические понятия преждевременно, он выучивает их только словесно; настоящее понимание приходит только с его умственным ростом. Это можно показать на простом опыте. Ребенка 5 или 6 лет родители легко могут научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камешков в ряд, ребенок может правильно их сосчитать. Но если выложить камешки в виде более сложной фигуры или нагромоздить их кучей, он уже не может считать их с постоянной точностью. Хотя ребенок знает названия чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что число объектов в группе остается тем же, «сохраняется» независимо от того, как их растасовать или расположить. С другой стороны, мы часто обнаруживаем, что ребенок 6,5 или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать восемь красных и восемь синих кусочков картона, он установит, располагая их попарно «1» к «1», что число красных такое же, как и число синих, и что обе группы остаются равными по числу, независимо от формы, которая им придается.

Опыт с соотнесением «1» к «1» полезен и для изучения того, как у детей развивается понятие числа. Выложим ряд из восьми красных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и попросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы может наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сделать ряд точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на расстоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую стадию; они кладут один синий кусочек против каждого красного и получают правильное число. Но это вовсе не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем красные кусочки, сделав расстояние между ними более значительным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возрасте от 6,5 до 7 дети достигают третьей стадии: теперь они знают, что, будем ли мы сдвигать или раздвигать ряд, число кусочков в нем останется тем же, что и в другом ряду.

В другом сходном опыте ребенку дают два сосуда одинаковой формы и размера и просят вынимать одновременно обеими руками и класть в другие два сосуда бусинки: синюю бусинку — в один сосуд правой рукой, а красную бусинку – в другой сосуд левой рукой. Когда ребенок более или менее наполнит сосуды, его спрашивают, как их сравнить. Ребенок уверен, что в обоих сосудах одинаковое число бусинок. Тогда его просят высыпать синие бусы в сосуд другой формы и размера. И теперь снова соответственно возрасту выступают различия в понимании. Младшие дети думают, что число изменилось: если, например, бусы наполняют сосуд до более низкого уровня, ребенок утверждает, что теперь в нем больше бус, чем было в прежнем; если бусы наполняют сосуд до более низкого уровня, ребенок думает, что теперь их меньше. Но дети около 7 лет уже понимают, что перемещение не меняет число бус. Короче говоря, дети должны уловить принцип сохранения количества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но, конечно, сохранение количества само по себе не является числовым понятием; это скорей логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии бросают некоторый свет на эпистемологию понятия числа, которое являлось предметом исследования многих математиков и логиков. Математики Анри Пуанкаре и Л. Е. Дж. Брауэр придерживались мнения, что понятие числа является продуктом простейшей интуиции, предшествующей логическим понятиям. По нашему мнению, только что описанные опыты опровергают это положение. С другой стороны, Бертран Рассел придерживается той точки зрения, что число есть чисто логическое понятие: идея количественного числа выводится из логического понятия категории (число является категорией, производимой из категории эквивалентности), тогда как понятие порядкового числа выводится из логических отношений порядка. Но теория Рассела не вполне подходит к психологическим процессам, какими мы их наблюдаем у маленьких детей. Дети вначале не делают различий между количественным и порядковым числом, и, кроме того, само понятие количественного числа предполагает отношение порядка. Так, например, ребенок может установить соответствие один к одному лишь в том случае, если он не забудет ни одного из элементов и не использует один и тот же элемент дважды. Но единственный путь для различения одного элемента и другого состоит в том, чтобы рассматривать его до или после другого во времени или пространстве, т. е. в порядке счисления (of enumeration).

Исследование того, как ребенок открывает пространственные отношения, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее плодотворно, чем изучение его числовых понятий. Порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется обратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Эвклида (трактующей фигуры, углы и т. д.), развивается в XVII столетии в так называемую проективную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы) и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в общем качественном виде, например различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок начинает с последнего: его первые геометрические открытия являются топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает открытые и замкнутые фигуры: если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, но может также нарисовать маленький круг вне большого или соприкасающимся с ним краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или выразить эвклидовы характеристики фигуры (число сторон, углы и т. д.). Лишь значительно позже того, как ребенок овладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия эвклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно. Интересно, что этот психологический порядок гораздо ближе к порядку дедуктивного или аксиоматического построения современной геометрии, чем исторический порядок ее открытий. Это является еще одним примером родства между психологически структурой (constraction) и логической конструкцией самой науки. Проверим наших юных испытуемых в отношении проективных структур. Сначала мы ставим два крайних столбика «решетчатой ограды» (маленькие палочки, вставленные в основания из пластилина) на расстоянии приблизительно 15 дюймов друг от друга и просим ребенка поставить другие столбики по прямой линии между ними. Самые младшие дети (младше 4 лет) ставят один столбик рядом с другим, образуя более или менее волнистую линию. Их подход является топологическим: элементы связаны скорей простым отношением близости, чем проекцией линии как таковой. На следующей стадии, старше 4 лет, ребенок уже может составить прямую линию, если крайние столбики расположены параллельно краю стола или если есть какая-нибудь другая прямая линия, которой ребенок может руководствоваться. Если крайние столбики расположены по диагонали стола, ребенок может начать строить линию параллельно краю стола, а затем меняет направление и образует кривую, чтобы подвести линию к последнему столбику. Случайно малыш может сделать и прямую линию, но она будет лишь одной среди прочих других, получаемых посредством проб и ошибок, а не по системе.

В возрасте 7 лет ребенок может построить прямую ограду всегда и в любом направлении стола, и эту прямую линию он проверяет так: он закрывает один глаз и просматривает направление другим глазом, как это делает садовник, равняя жерди для бобов. Перед нами сущность проективного понятия; линия все еще является топологической линией, но ребенок улавливает, что проективное отношение зависит от угла зрения или «точки зрения».

Это исследование можно продолжить с помощью другого опыта. Например, вы ставите на стол куклу и помещаете перед ней предмет, ориентированный в определенном направлении: карандаш, лежащий наискось, по диагонали или вдоль линии взора куклы, или часы, поставленные или положенные на столе. Затем вы просите ребенка нарисовать, как кукла видит предмет, или, еще лучше, выбрать из двух или трех рисунков один, который это изображает. Не ранее чем около 7 или 8 лет ребенок может правильно вывести угол зрения куклы. Сходный опыт, поставленный для проверки того же вопроса, ведет к такому же заключению. Предметы разной формы помещаются в разных положениях между источником света и экраном, и ребенка просят предсказать, какой будет форма тени от предмета на экране. Способность координировать разные перспективы проявляется не ранее 9 или 10 лет. Это иллюстрирует опыт, который несколько лет тому назад я подсказал своей сотруднице д-ру Эдит Мейер. Экспериментатор сидит за столом против ребенка и ставит между ним и собой гряду гор, сделанную из картона. Оба видят эту гряду во взаимно обратной перспективе. Ребенка просят выбрать из нескольких рисунков один, соответствующий его собственному виду горной гряды, и один — ее виду с позиции лица, сидящего против него. Естественно, самые младшие дети могут выбрать только один рисунок, соответствующий их точке зрения; они думают, что всё точки зрения подобны их собственной. Еще более интересно, что, если ребенок меняется местами с экспериментатором и теперь видит горы с другой стороны, он полагает, что его новая точка зрения является единственно правильной; он не может воспроизвести вид с точки зрения, которая была его собственной непосредственно перед этим. Это — хороший пример эго-центричности, столь характерной для детей, пример примитивного рассуждения, мешающего им понять, что может быть и более чем одна точка зрения. Дети должны проделать значительную эволюцию, чтобы где-то около 9 или 10 лет начать различать и координировать разные возможные перспективы. На этой стадии дети могут понять проективное пространство в его конкретной или практической форме, но, естественно, не в его теоретических аспектах.

К тому времени, когда ребенок образует представление о проективном пространстве, он также строит и эвклидово пространство; оба построения опираются друг на друга. Так, например, выстраивая ряд столбиков ограды, он может воспользоваться не только методом просмотра, но вытянуть параллельно обе руки, давая этим направление ограде. Он применяет понятие о сохранении направления, которое является эвклидовым принципом. Здесь мы имеет еще одну иллюстрацию того факта, что дети образуют математические понятия на качественном или логическом основании. Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же длины, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за границы другого, то ребенок 6 лет будет утверждать, что оба блока уже не равны по длине. Не ранее чем около 7 лет ребенок начинает понимать, что то, что блок выигрывает на одном конце, он теряет на другом. Нужно отметить — ребенок приходит к этому понятию о сохранении длины путем логического заключения (bia process of logic). Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает сохранение расстояния, особенно показательно. Между двумя маленькими игрушечными деревьями, стоящими на расстоянии друг От друга, вы помещаете стену из блоков или куска толстого картона и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), находятся ли теперь деревья на том же расстоянии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить две части расстояния в одно общее расстояние. Дети 5 или 6 лет думают, что расстояние уменьшилось, указывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, заполненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояния. Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следующее: дети не доходят до принципа сохранения длины или поверхности, пока — где-то около 7 лет — не открывают обратимости, которая показывает, что первоначальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т. д.). Таким образом, открытие логических отношений является предварительным условием образования геометрических понятий, как это имеет место и при образовании понятия о числе.

Это относится и к самому измерению, которое также является производным понятием. Интересно проследить, как дети спонтанно научаются измерять. Д-р Инельдер, одна из моих сотрудниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребенку башню из блоков, стоящую на столе, и просили его построить другую башню такой же высоты на другом столе (который был ниже или выше первого) из блоков разного размера. Конечно, мы снабжали ребенка всеми необходимыми измерительными инструментами. Попытки ребенка решить эту задачу проходят поразительную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о различии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их верхушки единым взором. На несколько более высоком этапе развития ребенок кладет на верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться в том, что они на одном уровне. Несколько позже он замечает, что основание его башни находится не на том уровне, что основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою башню рядом с образцом, на том же столе. Вспомнив, что правила игры запрещают передвигать его башню, он начинает оглядываться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум — это его собственное тело. Он кладет одну руку на вершину свой башни, другую — на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети около 6 лет делают это весьма уверенно — так, как если бы их руки не могли изменить положения по пути! Вскоре они обнаруживают, что метод не надежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои плечи с вершиной своей башни, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и направляется к модели — посмотреть, является ли рассстояние тем же. В конце концов ребенку приходит мысль о независимом измерительном инструменте. Его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он пододвигает ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается правилами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического рассуждения. Если мы назовем башню образец А, вторую башню С, а перемещаемую башню В, то ребенок рассуждает так: В = С и В = А, поэтому А = С. Позднее ребенок замещает третью башню стержнем, но сначала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей измерению. Затем он постигает идею использовать более длинный стержень, на котором отмечает пальцем высоту башни. Наконец – и это начало настоящего измерения — он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откладывая стержень по ее стороне известное число раз. Последнее открытие содержит, две новые логические операции. Первая — это процесс разделения, который позволяет ребенку понять, что целое состоит из некоторого числа сложенных вместе частей. Вторая — это операция смещения или замещения, которая позволяет ему присоединить одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэтому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и замещения, подобно тому, как число есть синтез включения категорий и сериального порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы. Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ребенку большой лист бумаги с карандашной точкой на нем и просим поставить точку в том же месте па другом листе такого же размера. Ребенок может воспользоваться палочками, полосками бумаги, веревочками, линейками или любым другим измерительным инструментом, в котором он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближением, не пользуясь никакими орудиями. Позднее ребенок пользуется измерительным инструментом, но измеряет только расстояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не дает ему правильного положения точки. Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пытаясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8 или 9 лет он открывает, что должен разделить измерение на две операции: горизонтальное расстояние от боковой стороны и вертикальное расстояние от основания или верхнего края. Сходный опыт с бусами в ящике показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения приблизительно в том же возрасте.

Измерение в двух или трех направлениях приводит нас к центральной идее эвклидова пространства, а именно к идее осей координат – системы, основанной на горизонтальности или вертикальности физических объектов. Может показаться, что даже маленький ребенок должен был бы понять эти представления (concepts), ибо в конце концов он может различить между положениями «прямо вверх> и «лежащее внизу». Но в действительности представление о вертикальных и горизонтальных линиях поднимает совсем другой вопрос об этом субъективном сознании (awereness) постурального пространства. Д-р Инельдер и я изучали его с помощью следующих опытов: показывая сосуд, наполовину наполненный окрашенной водой, мы просили маленьких испытуемых сказать, каков будет уровень воды, если наклонить сосуд так или иначе. Не ранее 9 лет ребенок постигает (grasp) идею горизонтальности и начинает отвечать правильно. Сходные опыты с отвесом или с игрушечной парусной лодкой с высокой мачтой демонстрируют, что понимание вертикальности появляется примерно в то же время. Такое запаздывание в приобретении ребенком этих понятий в действительности не удивительно, так как эти понятия требуют, чтобы ребенок уловил не только внутренние отношения объекта, но также его отношения к внешним элементам (например, к столу, полу или стенам комнаты).

Когда ребенок уясняет себе, как строить эти оси координат по отношению к естественным объектам (что наступает приблизительно в то же время, когда он овладевает координацией разных перспектив), он также достигает понимания того, как надо изображать (to represent) пространство. Но к этому времени он развивает и свои основные математические понятия, которые возникают спонтанно (spring spontaneously) из его собственных логических операций. Описанные мною опыты, как они ни просты, были удивительно плодотворны и выявили много неожиданных фактов. Эти факты бросают яркий свет на многие вопросы психологии и педагогики; более того, они учат нас многому о человеческом познании вообще.